Матрицы. Операции над матрицами

Размерность матрицы записывается nxm и обозначает, что матрица содержит n строк и m столбцов. Матрицы одной размерности называются одноимёнными. Две матрицы A и B равны, если они одноимённы, и для любых i, j выполнено a_i,j=b_i,j.

(2 3 7) и (2 0 12) — одноимённые

(4 5 1)     (56 3 1)  матрицы

(1 45 2) и (2 4) — не одноимённые матрицы

На исходное поле или кольцо можно смотреть как на множество матриц 1х1.

Матрицы — удобное средство при работе с линейными пространствами, решении систем линейных уравнений.

Преобразование в матричный вид проводится следующим образом:

7x_1 + 5x_2 — 3x_3 = 10

13x_1 — 8x_3 = 67

x_1+4x_2+x_3=15

 ~

(7 5 -3 10)

(13 0 -8 67)

(1 4 1 15)

 

Над матрицами определяются следующие действия:

1. Транспонирование и нахождение противоположной матрицы
2. Умножение матрицы на элемент кольца/поля, над которым построена матрица
3. Сложение матриц
4. Умножение матриц
5. Нахождение обратной матрицы

1. Транспонирование

Транспонированием называется унарная операция `, при которой матрица (a_i,j)_nxm преобразуется в (b_i,j)_mxn, где b_i,j=a_j,i. Диагональ матрицы (все элементы вида a_i,i), очевидно, остаётся на месте.

 

 

 

 

 

Свойства:

1. Дважды транспонированная матрица равна исходной. 
2. Если матрицы А и В равны, то матрицы АТ и ВТ равны.

Нахождение противоположной матрицы

Матрица B называется противоположной к матрице А, если для любых i,j выполнено —b_i,j=a_i,j. Матрица, противоположная матрице А записывается: -А.

 

 

 

 

 

Свойства:

1. Матрица, противоположная к противоположной,  равна исходной.
2. Если матрицы А и В равны, то матрицы -А и -В равны.

2. Умножение матрицы на элемент кольца/поля, над которым построена матрица

Умножение матрицы на скаляр происходит поэлементно:

 

 

 

 

Свойства:

1. Матрица А, умноженная на единицу исходного кольца/поля равна себе;

2. (a*b)*A = a*(b*A);

3. 0*A=0, где нуль в левой части уравнения принадлежит исходному множеству, а нуль в правой стороне уравнения представляет нуль-матрицу.

3. Сложение матриц

Сложение — бинарная операция над матрицами. Складывать возможно только одноимённые матрицы.

 

 

 

 

 

Сложение матриц сводится к поэлементному их сложению, поэтому оно сохраняет все свойства исходного множества, т.е. оно ассоциативно, коммутативно.

В связи со сложением можно выделить дополнительное свойство умножения на скаляр:

(a+b)*A = a*A + b*A — следует понимать, что сложение в левой части уравнения является операцией в исходном поле/кольце, а в правой — сложением на множестве матриц;

4. Умножение матриц

Умножение матриц задаётся весьма необычным способом:

 

 

 

 

Матрицы А и В можно умножить только если они согласованны: если размерность А — mxn, то размерность В должна быть равна nxk, где k — любое натуральное.

5. Нахождение обратной матрицы

Обратную матрицу можно найти только у матрицы, определитель которой не равен нулю, т.е. она является невырожденной.